题目内容
已知双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为
,且经过点(4,-
).
(Ⅰ)求双曲线C的方程;
(Ⅱ)设F1、F2为双曲线C的左、右焦点,若双曲线C上一点M满足F1M⊥F2M,求△MF1F2的面积.
2 |
10 |
(Ⅰ)求双曲线C的方程;
(Ⅱ)设F1、F2为双曲线C的左、右焦点,若双曲线C上一点M满足F1M⊥F2M,求△MF1F2的面积.
(Ⅰ)∵双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,
∴设双曲线的方程为
-
=1,
∵离心率为
,
∴e=
=
,∴a=b,
又∵双曲线过点(4,-
),
∴
-
=1,解得a2=6,
∴所求双曲线C的方程为
-
=1.…(4分)
(Ⅱ)∵c2=a2+b2=12,∴F1(-2
,0),F2(2
,0),
设M(x0,y0),
则
=(x0+2
,y0),
=(x0-2
,y0),
∵F1M⊥F2M,∴
•
=0,即
+
=12,
又∵
-
=6,∴
=9,
=3.
∴S△MF1F2=
|F1F2|•|y0|=
×4
×
=6.…(10分)
∴设双曲线的方程为
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
∵离心率为
2 |
∴e=
c |
a |
2 |
又∵双曲线过点(4,-
10 |
∴
16 |
a2 |
10 |
a2 |
∴所求双曲线C的方程为
x2 |
6 |
y2 |
6 |
(Ⅱ)∵c2=a2+b2=12,∴F1(-2
3 |
3 |
设M(x0,y0),
则
F1M |
3 |
F2M |
3 |
∵F1M⊥F2M,∴
F1M |
F2M |
x | 20 |
y | 20 |
又∵
x | 20 |
y | 20 |
x | 20 |
y | 20 |
∴S△MF1F2=
1 |
2 |
1 |
2 |
3 |
3 |
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