题目内容

已知双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为
2
,且经过点(4,-
10
).
(Ⅰ)求双曲线C的方程;
(Ⅱ)设F1、F2为双曲线C的左、右焦点,若双曲线C上一点M满足F1M⊥F2M,求△MF1F2的面积.
(Ⅰ)∵双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,
∴设双曲线的方程为
x2
a2
-
y2
b2
=1

∵离心率为
2

e=
c
a
=
2
,∴a=b,
又∵双曲线过点(4,-
10
)

16
a2
-
10
a2
=1
,解得a2=6,
∴所求双曲线C的方程为
x2
6
-
y2
6
=1
.…(4分)
(Ⅱ)∵c2=a2+b2=12,∴F1(-2
3
,0)
F2(2
3
,0)

设M(x0,y0),
F1M
=(x0+2
3
y0)
F2M
=(x0-2
3
y0)

∵F1M⊥F2M,∴
F1M
F2M
=0
,即
x20
+
y20
=12

又∵
x20
-
y20
=6
,∴
x20
=9
y20
=3

S△MF1F2=
1
2
|F1F2|•|y0|=
1
2
×4
3
×
3
=6
.…(10分)
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