题目内容

已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左右两焦点分别为F1，F2，p是椭圆上一点，且在x轴上方，PF2⊥F1F2，PF2=λPF1，λ∈[
1
3
，
1
2
]．
（1）求椭圆的离心率e的取值范围；
（2）当e取最大值时，过F1，F2，P的圆Q的截y轴的线段长为6，求椭圆的方程；
（3）在（2）的条件下，过椭圆右准线l上任一点A引圆Q的两条切线，切点分别为M，N．试探究直线MN是否过定点？若过定点，请求出该定点；否则，请说明理由．
（1）λ=
|PF2|
|PF1|
=
b2
a
2a-
b2
a
，化为2a2λ-b2λ=b2，整理为
b2
a2
=
2λ
1+λ
．
∴e2=
c2
a2
=1-
b2
a2
=1-
2λ
1+λ
=
1-λ
1+λ
，
∴e=
1-λ
1+λ
，在λ∈[
1
3
，
1
2
]上单调递减．
∴λ=
1
2
时，e2最小
1
3
，λ=
1
3
时，e2最小
1
2
，∴
1
3
≤e2≤
1
2
，
∴
3
3
≤e≤
2
2
．
（2）当e=
2
2
时，
c
a
=
2
2
，∴c=b=
2
2
a，
∴2b2=a2．
∵PF2⊥F1F2，∴PF1是圆的直径，圆心是PF1的中点，∴在y轴上截得的弦长就是直径，
∴PF1=6．
又|PF1|=2a-
b2
a
=2a-
a2
a
=
3
2
a=6，
∴a=4，c=b=2
2
．
∴椭圆方程是
x2
16
+
y2
8
=1．
（3）由（2）得到|PF2|=
b2
a
=
a
2
=2，于是圆心Q（0，1），半径为3，圆Q的方程是x2+（y-1）2=9．椭圆的右准线方程为x=4
2
，
∵直线AM，AN是圆Q的两条切线，∴切点M，N在以AQ为直径的圆上．
设A点坐标为(4
2
，t)，∴该圆方程为x(x-4
2
)+(y-1)(y-t)=0．
∴直线MN是两圆的公共弦，两圆方程相减得：4
2
x+(t-1)y-8-t=0，这就是直线MN的方程．
该直线化为：(y-1)t+4
2
x-y-8=0，
∴
y-1=0
4
2
x-y-8=0
，解得
x=
9
2
8
y=1

∴直线MN必过定点(
9
2
8
，1)．
练习册系列答案
相关题目
设A，B∈R，A≠B且AB≠0，则方程Bx-y+A=0和
x2
B
-
y2
A
=1在同一坐标系下的图象可能是（　　）
A．B．C．D．
已知F1，F2是椭圆
x2
16
+
y2
9
=1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A，B两点，在△AF1B中，若有两边之和是10，则第三边的长度为______．
已知双曲线的方程为5x2-4y2=20两个焦点为F1，F2．
（1）求此双曲线的焦点坐标和渐近线方程；
（2）若椭圆与此双曲线有共同的焦点，且有一公共点P满足|PF1|•|PF2|=6，求椭圆的方程．
如图，直线l：y=x+b与抛物线x2=4y相切于点A．
（1）求实数b的值；
（2）若过抛物线的焦点且平行于直线l的直线l1交抛物线于B，C两点，求△ABC的面积．
从圆O：x2+y2=4上任意一点P向x轴作垂线，垂足为P′，点M是线段PP′的中点，则点M的轨迹方程是（　　）
A．
9x2
16
+
y2
4
=1		B．
9y2
16
+
x2
4
=1
C．x2+
y2
4
=1		D．
x2
4
+y2=1
如图，椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的顶点为A1，A2，B1，B2，焦点为F1，F2，|A1B2|=
7
，S?A1B1A2B2=2S?B1F1B2F2
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线m过Q（1，1），且与椭圆相交于M，N两点，当Q是MN的中点时，求直线m的方程．
（Ⅲ）设n为过原点的直线，l是与n垂直相交于P点且与椭圆相交于两点A，B的直线，|
OP
|=1，是否存在上述直线l使以AB为直径的圆过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率e=
6
3
，过点A（0，-b）和B（a，0）的直线与原点的距离为
3
2
．
（1）求椭圆的方程．
（2）已知定点E（-1，0），若直线y=kx+2（k≠0）与椭圆交于C、D两点．问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点？请说明理由．
某圆锥曲线有下列信息：
①曲线是轴对称图形，且两坐标轴都是对称轴；
②焦点在x轴上且焦点到坐标原点的距离为1；
③曲线与坐标轴的交点不是两个；
④曲线过点A（1，
3
2
）．
（1）判断该圆锥曲线的类型并求曲线的方程；
（2）点F是改圆锥曲线的焦点，点F′是F关于坐标原点O的对称点，点P为曲线上的动点，探求以|PF|以及|PF|•|PF′|的取值范围．

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