题目内容
如图,椭圆
+
=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率e=
,过F1的直线交椭圆于M、N两点,且△MNF2的周长为4
(Ⅰ)求椭圆E的方程;
(Ⅱ)设AB是过椭圆E中心的任意弦,P是线段AB的垂直平分线与椭圆E的一个交点,求△APB面积的最小值.
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
| ||
5 |
5 |
(Ⅰ)求椭圆E的方程;
(Ⅱ)设AB是过椭圆E中心的任意弦,P是线段AB的垂直平分线与椭圆E的一个交点,求△APB面积的最小值.
(Ⅰ)∵△MNF2周长为4
,
∴4a=4
,
∴a=
,
∵离心率e=
,
∴c=1,
∴b=
=2,
∴椭圆E的方程为
+
=1;
(Ⅱ)直线AB的方程为y=kx,线段AB的垂直平分线为y=-
x,
y=-
x与椭圆方程联立,可得x=±
,
∴可得P(
,-
),
P到直线AB的距离为d=|
•
|
y=kx与椭圆方程联立,可得x=±
∴|AB|=
•2
∴S△ABP=
|AB|d|=
•2
•|
•
|
令t=k2+1(t≥1),则S△ABP=20•
=20•
,
∵t≥1,
∴t=1,即k=0时,△APB面积的最小值为2
.
5 |
∴4a=4
5 |
∴a=
5 |
∵离心率e=
| ||
5 |
∴c=1,
∴b=
a2-c2 |
∴椭圆E的方程为
x2 |
5 |
y2 |
4 |
(Ⅱ)直线AB的方程为y=kx,线段AB的垂直平分线为y=-
1 |
k |
y=-
1 |
k |
|
∴可得P(
|
1 |
k |
|
P到直线AB的距离为d=|
| ||
k |
|
y=kx与椭圆方程联立,可得x=±
|
∴|AB|=
1+k2 |
|
∴S△ABP=
1 |
2 |
1 |
2 |
1+k2 |
|
| ||
k |
|
令t=k2+1(t≥1),则S△ABP=20•
|
|
∵t≥1,
∴t=1,即k=0时,△APB面积的最小值为2
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