题目内容

如图,椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率e=
5
5
,过F1的直线交椭圆于M、N两点,且△MNF2的周长为4
5

(Ⅰ)求椭圆E的方程;
(Ⅱ)设AB是过椭圆E中心的任意弦,P是线段AB的垂直平分线与椭圆E的一个交点,求△APB面积的最小值.
(Ⅰ)∵△MNF2周长为4
5

∴4a=4
5

∴a=
5

∵离心率e=
5
5

∴c=1,
b=
a2-c2
=2,
∴椭圆E的方程为
x2
5
+
y2
4
=1

(Ⅱ)直线AB的方程为y=kx,线段AB的垂直平分线为y=-
1
k
x,
y=-
1
k
x与椭圆方程联立,可得x=±
20k2
4k2+5

∴可得P(
20k2
4k2+5
,-
1
k
20k2
4k2+5
),
P到直线AB的距离为d=|
k2+1
k
20k2
4k2+5
|
y=kx与椭圆方程联立,可得x=±
20
4+5k2

∴|AB|=
1+k2
•2
20
4+5k2

∴S△ABP=
1
2
|AB|d|=
1
2
1+k2
•2
20
4+5k2
•|
k2+1
k
20k2
4k2+5
|
令t=k2+1(t≥1),则S△ABP=20•
t2
(5t-1)(4t+1)
=20•
1
-(
1
t
-
1
2
)2+
81
4

∵t≥1,
∴t=1,即k=0时,△APB面积的最小值为2
5
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