Question

17．二次函数f（x）满足f（x+1）-f（x）=2x，且f（0）=1
（1）求f（x）的解析式；
（2）在区间[-1，1]上，函数y=f（x）的图象恒在直线y=m的上方，试确定实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）二次函数满足f（x+1）-f（x）=2x且f（0）=1，设其方程为y=ax²+bx+1，代入f（x+1）-f（x）=2x，整理后利用同一性求出系数，
（2）转化为x²-x+1-m＞0在[-1，1]上恒成立，找g（x）=x²-x+1-m在[-1，1]上的最小值让其大于0即可．

解答 解：（1）由题意，设其方程为y=ax²+bx+1代入f（x+1）-f（x）=2x恒成立，整理得2ax+a+b=2x恒成立，
所以a=1，a+b=0，
解得a=1，b=-1，
故f（x）=x²-x+1
（2）由题意得x²-x+1＞m在[-1，1]上恒成立．
即x²-x+1-m＞0在[-1，1]上恒成立．
设g（x）=x²-x+1-m，其图象的对称轴为直线x=$\frac{1}{2}$，
∴g（x）在[-1，$\frac{1}{2}$]上递减，[$\frac{1}{2}$，1]上递增．
故只需g（$\frac{1}{2}$）＞0，即（$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{2}$+1-m＞0，
解得m＜$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查函数解析式的求解及常用方法，解题的关键是了解二次函数的解析式的结构利用待定系数法设出解析式，再代入所给的条件求出参数．