Question

9．已知二次函数f（x）满足f（0）=0且f（x+1）=f（x）+x+1，g（x）=2f（-x）+x．求：
（1）f（x）的表达式；
（2）f（g（x））的表达式．

Answer 1

分析 （1）设出二次函数的一般形式后，代入f（0）=0且f（x+1）=f（x）+x+1，化简后根据多项式相等的条件求出a，b及c的值，即可确定出f（x）的解析式；
（2）确定g（x），即可求出f（g（x））的表达式．

解答 解：（1）令f（x）=ax²+bx+c（a≠0）
∵f（0）=0，
∴c=0，
∴f（x）=ax²+bx
∵f（x+1）=f（x）+x+1，
∴a（x+1）²+b（x+1）-（ax²+bx）=x+1，
∴2ax+a+b=x+1，即2a=1，a+b=1，
∴a=$\frac{1}{2}$，b=$\frac{1}{2}$，
∴f（x）=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x；
（2）g（x）=2f（-x）+x=2（$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$x）+x=x²，
∴f（g（x））=$\frac{1}{2}$x⁴+$\frac{1}{2}$x²．

点评 此题考查学生会利用待定系数法求函数的解析式，考查学生的计算能力，属于中档题．