Question

6．数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=a_n+n+1（n∈N^•），则$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{2015}}$等于（　　）

• A． $\frac{2015}{2016}$
• B． $\frac{4028}{2015}$
• C． $\frac{2015}{1008}$
• D． $\frac{1007}{1008}$

Answer 1

分析 由所给的式子得a_n+1-a_n=n+1，给n具体值列出n-1个式子，再他们加起来，求出a_n，再用裂项法求出$\frac{1}{{a}_{n}}$，然后代入$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{2015}}$求值．

解答 解：∵a_n+1=a_n+n+1（n∈N^•），∴a_n+1-a_n=n+1，
∴a₂-a₁=1+1，
a₃-a₂=2+1，
a₄-a₃=3+1，
…
a_n-a_n-1=（n-1）+1，
以上等式相加，得a_n-a₁=1+2+3+…+（n-1）+n-1，
把a₁=1代入上式得，a_n=1+2+3+…+（n-1）+n=$\frac{n（n+1）}{2}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$），
∴$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{2015}}$=2[（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$）+…+（$\frac{1}{2015}-\frac{1}{2016}$）]
=2（1-$\frac{1}{2016}$）
=$\frac{2015}{1008}$．
故选：C．

点评 本题考查数列的前n项倒数和的求法，是中档题，解题时要注意累加法和裂项求和法的合理运用．