Question

3．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=x²+2x，则函数$g（x）=f（x）+\frac{1}{2}x-1$零点的集合为（　　）

• A． {1，-1，0}
• B． {-2，2，0}
• C． $\{2，-\frac{1}{2}，\frac{{-5+\sqrt{41}}}{4}\}$
• D． $\{2，\frac{1}{2}，\frac{{-5-\sqrt{41}}}{4}\}$

Answer 1

分析 令x＞0，则-x＜0，f（-x）=（-x）²-2x=-f（x），可得f（x），又f（0）=0．可得g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+\frac{5}{2}x-1，x≥0}\\{{x}^{2}+\frac{5}{2}x-1，x＜0}\end{array}\right.$，令g（x）=0，解得x即可得出．

解答 解：令x＞0，则-x＜0，f（-x）=（-x）²-2x=-f（x），∴f（x）=-x²+2x，又f（0）=0．∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+2x，x≥0}\\{{x}^{2}+2x，x＜0}\end{array}\right.$．
∴g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+\frac{5}{2}x-1，x≥0}\\{{x}^{2}+\frac{5}{2}x-1，x＜0}\end{array}\right.$，
令g（x）=0，解得x=2，或$\frac{1}{2}$，或$\frac{-5-\sqrt{41}}{4}$．
∴函数$g（x）=f（x）+\frac{1}{2}x-1$零点的集合为{2，$\frac{1}{2}$，$\frac{-5-\sqrt{41}}{4}$}．
故选：D．

点评 本题考查了函数奇偶性、函数的零点，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．