题目内容
如图,三棱柱ABC-ABC的侧面AACC与底面ABC垂直,AB=BC=CA=4,且AA⊥AC,AA=AC.
(Ⅰ)证明:AC⊥BA;
(Ⅱ)求侧面AABB与底面ABC所成二面角的余弦值.
(1)要证明线线垂直,通过线面垂直的性质定理来证明。
(2) 侧面AABB与底面ABC所成的二面角为arccos
解析试题分析:(Ⅰ)证明:取AC的中点O,连结OA,OB,BA,则
, 2分
. 4分
∴AC⊥面BOA. 5分
∵BA面BOA,∴AC⊥BA. 6分
(Ⅱ)解法一:∵面AACC⊥面ABC,AO⊥AC,
∴AO⊥面ABC. 7分
过点O作OH⊥AB于H,连结AH,则AH⊥AB,
∴∠AHO为所求二面角的平面角. 9分
在等边△ABC中,OH=,AH=. ∴cos∠AHO==. 11分
∴侧面AABB与底面ABC所成的二面角为arccos. 12分
解法二:以O为坐标原点,OB,OC,OA所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系, 7分
则A(0,-2,0),B(2,0,0),C(0,2,0),A(0,0,2),
C(0,4,2),设n=(x,y,z)是面AABB的一个法向量,则n⊥,n⊥,
∵=(0,2,2), =(2,2,0), 8分
∴ 取x=1,得n=(1,-,). 9分
易知平面ABC的法向量为m=(0,0,1), 10分
所以cos<m,n>==. 11分
∴ 侧面AABB与底面ABC所成的二面角为arccos. 12分
考点:二面角的平面角,线线垂直
点评:主要是考查了关于垂直证明,以及二面角的平面角的求解,属于基础题。可以运用代数法也可以运用几何性质来求解和证明。