Question

14．已知函数f（x）=x²+bx+c满足f（-1）=f（3）=0
（Ⅰ）求b和c的值；
（Ⅱ）若f（x）在[a，a+1]上的最小值为g（a）；
（Ⅲ）解不等式g（a）+3≤0．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由对称轴求出b的值，将点（-1，0）和b的值代入f（x）求出c的值即可；
（Ⅱ）先求出函数的对称轴，通过讨论a的范围，结合函数的单调性求出函数的闭区间上的最小值即可；
（Ⅲ）由（Ⅱ）解出不同的关于g（a）的不等式即可．

解答 解：（Ⅰ）已知函数f（x）=x²+bx+c满足f（-1）=f（3）=0，
∴对称轴x=-$\frac{b}{2}$=$\frac{-1+3}{2}$=1，解得：b=-2，
将（-1，0）代入f（x）=x²-2x+c得：c=-3，
∴b=-2，c=-3；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：f（x）=x²-2x-3=（x-1）²-4，对称轴x=1，
①a≥1时：f（x）在[a，a+1]递增，
g（a）=f（x）_min=f（a）=a²-2a-3，
②0＜a＜1时：f（x）在[a，1）递减，在（1，a+1]递增，
g（a）=f（x）_min=f（1）=-4，
③a≤0时：f（x）在[a，a+1]递减，
g（a）=f（x）_min=f（a+1）=a²-4；
（Ⅲ）①a≥1时：g（a）=a²-2a-3，
解不等式：a²-2a-3+3≤0，
解得：1≤a≤2，
②0＜a＜1时：g（a）=-4，-4+3=-1＜0，
③a≤0时：g（a）=a²-4；
解不等式：a²-4+3≤0，
解得：-1≤a≤0．

点评 不同考查了二次函数的性质，考查函数的闭区间上的最值问题，考查不等式的解法，是一道基础题．