Question

4．已知函数f（x）=4cos（$\frac{πx}{2}$+$\frac{π}{3}$），如果对于任意x∈R都有f（x₁）≤f（x）≤f（x₂）成立，则|x₁-x₂|的最小值是2．

Answer 1

分析 先确定|x₁-x₂|的最小值为相邻最小值与最大值处横坐标差的绝对值，由此可得结论．

解答 解：由题意，f（x）=4cos（$\frac{πx}{2}$+$\frac{π}{3}$），
对任意的x∈R都有f（x₁）≤f（x）≤f（x₂）成立，所以f（x₁）是最小值，f（x₂）是最大值，
|x₂-x₁|的最小值为相邻最小值与最大值处横坐标差的绝对值．
由于当$\frac{πx}{2}$+$\frac{π}{3}$=0，即x=-$\frac{2}{3}$时，函数取得最大值4，
当$\frac{πx}{2}$+$\frac{π}{3}$=π，即x=$\frac{4}{3}$时，函数取得最小值-4，
∴|x₁-x₂|的最小值为：|$\frac{4}{3}-（-\frac{2}{3}）$|=2．
故答案为：2．

点评 本题考查绝对值函数，考查三角函数的性质，确定|x₁-x₂|的最小值为相邻最小值与最大值处横坐标差的绝对值是关键，属于中档题．