题目内容
【题目】对于函数、
、
,如果存在实数
、
使得
,那么称
为
、
的生成函数.
(1)若,
,
,则
是否分别为
、
的生成函数?并说明理由;
(2)设,
,
,
,生成函数
,若不等式
在
上有解,求实数
的取值范围;
(3)设,
取
,
,生成函数
图象的最低点坐标为
,若对于任意正实数
、
且
,试问是否存在最大的常数
,使
恒成立?如果存在,求出这个
的值;如果不存在,请说明理由.
【答案】(1)是;理由见解析;(2);(3)存在,且
.
【解析】
(1)利用两角和的正弦公式将函数的解析式展开,利用题中的定义可判断出
是
、
的生成函数;
(2)先得出函数,根据题意得出
在
上有解,设
,利用参变量分离法得出
,可得出
,求出函数
在
上的最大值,即可得出实数
的取值范围;
(3)先得出函数,利用题意以及基本不等式得出
,
,然后利用基本不等式求出
在条件
下的最小值,即可得出
的取值范围,即可求出
的最大值.
(1),因此,
是分别为
、
的生成函数;
(2)由题意可得,
由于不等式在
上有解,即
,
化简得,
令,则有
,得
,
由题意可得,由于函数
在
上单调递增,
所以,,
.
因此,实数的取值范围是
;
(3)由题意可得,
函数
图象的最低点坐标为
,
由基本不等式得,
当且仅当时,即当
时,等号成立,则
,解得
,
.
.
令,由基本不等式得
,
由双勾函数的单调性知,函数在
上单调递减,
则,
.
因此,存在最大值的常数.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某企业为提高生产质量,引入了一批新的生产设备,为了解生产情况,随机抽取了新、旧设备生产的共200件产品进行质量检测,统计得到产品的质量指标值如下表及图(所有产品质量指标值均位于区间内),若质量指标值大于30,则说明该产品质量高,否则说明该产品质量一般.
质量指标 | 频数 |
2 | |
8 | |
10 | |
30 | |
20 | |
10 | |
合计 | 80 |
(1)根据上述图表完成下列列联表,并判断是否有
的把握认为产品质量高与引人新设备有关;
新旧设备产品质量列联表
产品质量高 | 产品质量一般 | 合计 | |
新设备产品 | |||
旧设备产品 | |||
合计 |
(2)从旧设备生产的质量指标值位于区间的产品中,按分层抽样抽取6件产品,再从这6件产品中随机选取2件产品进行质量检测,求至少有一件产品质量指标值位于
的概率.
附:,
.
0.10 | 0.05 | 0.01 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
【题目】清华大学自主招生考试题中要求考生从A,B,C三道题中任选一题作答,考试结束后,统计数据显示共有600名学生参加测试,选择A,B,C三题答卷数如下表:
题 | A | B | C |
答卷数 | 180 | 300 | 120 |
(Ⅰ)负责招生的教授为了解参加测试的学生答卷情况,现用分层抽样的方法从600份答案中抽出若干份答卷,其中从选择A题作答的答卷中抽出了3份,则应分别从选择B,C题作答的答卷中各抽出多少份?
(Ⅱ)测试后的统计数据显示,A题的答卷得优的有60份,若以频率作为概率,在(Ⅰ)问中被抽出的选择A题作答的答卷中,记其中得优的份数为,求
的分布列及其数学期望
.