Question

10．已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC=BB₁，AB⊥BC，BB₁⊥平面ABC，D为AC的中点，E为CC₁的中点．
（1）求证AC₁∥平面BDE；
（2）求证：AC₁⊥平面A₁BD．

Answer 1

分析 （1）由已知根据中位线定理可得DE∥AC₁，又DE?平面BDE，AC₁?平面BDE，由线面平行的判定定理即可证明．
（2）D为AC的中点，可证∠AA₁D=∠CAC₁，∠CAC₁+∠ADA₁=90°，从而可得AC₁⊥A₁D，又AC₁⊥BD，即可证明AC₁⊥平面A₁BD．

解答 证明：（1）∵D为AC的中点，E为CC₁的中点，
∴DE∥AC₁，又DE?平面BDE，AC₁?平面BDE，
∴AC₁∥平面BDE；…6分
（2）D为AC的中点，则tan∠AA₁D=$\frac{AD}{A{A}_{1}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，tan$∠CA{C}_{1}=\frac{C{C}_{1}}{AC}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
则∠AA₁D=∠CAC₁，那么∠CAC₁+∠ADA₁=90°，AC₁⊥A₁D，
又AC₁⊥BD，所以AC₁⊥平面A₁BD…12分

点评 本题主要考查了直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．