题目内容
8．将函数f（x）=cos2x（x∈R）的图象沿向量$\overrightarrow{a}$平移后，所得曲线对应的函数在区间[$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]内单调递增，且在该区间的最大值为1，则向量$\overrightarrow{a}$可能是（ ）| A． | （-$\frac{π}{6}$，$\frac{1}{2}$） | B． | （$\frac{π}{6}$，$\frac{1}{2}$） | C． | （$\frac{π}{3}$，$\frac{3}{2}$） | D． | （-$\frac{π}{3}$，$\frac{3}{2}$） |
分析 利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的单调性以及定义域和值域，逐一检验各个选项是否正确，从而得出结论．
解答 
解：把将函数f（x）=cos2x（x∈R）的图象沿向量$\overrightarrow{a}$=（-$\frac{π}{6}$，$\frac{1}{2}$）
平移后，可得y=cos（2x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{1}{2}$的图象，
当x∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]时，2x+$\frac{π}{3}$∈[π，$\frac{5π}{3}$]，
所得函数y=cos（2x+$\frac{2π}{3}$）为增函数，
且当2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{5π}{3}$时，函数f（x）取得最大值为$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$=1，
满足条件，故A适合题意．
把将函数f（x）=cos2x（x∈R）的图象沿向量$\overrightarrow{a}$=（$\frac{π}{6}$，$\frac{1}{2}$）
平移后，可得y=cos（2x-$\frac{π}{3}$）+$\frac{1}{2}$的图象，
当x∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]时，2x-$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，π]，
所得函数y=cos（2x+$\frac{2π}{3}$）+$\frac{1}{2}$为减函数，最大值为$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$=1，不满足条件，故排除B．
把将函数f（x）=cos2x（x∈R）的图象沿向量$\overrightarrow{a}$=（$\frac{π}{3}$，$\frac{3}{2}$）平移后，可得y=cos（2x-$\frac{2π}{3}$）+$\frac{3}{2}$的图象，
当x∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]时，2x-$\frac{2π}{3}$∈[0，$\frac{2π}{3}$]，
所得函数y=cos（2x-$\frac{2π}{3}$）+$\frac{3}{2}$为减函数，最大值为1+$\frac{3}{2}$=$\frac{5}{2}$，不满足条件，故排除C．
把将函数f（x）=cos2x（x∈R）的图象沿向量$\overrightarrow{a}$=（-$\frac{π}{3}$，$\frac{3}{2}$）平移后，可得y=cos（2x+$\frac{2π}{3}$）+$\frac{3}{2}$的图象，
当x∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]时，2x-$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，π]，
所得函数y=cos（2x+$\frac{2π}{3}$）+$\frac{3}{2}$为减函数，最大值为$\frac{1}{2}$+$\frac{3}{2}$=2，不满足条件，故排除D，
故选：A．
点评 本题主要考查余弦函数的图象特征，函数y=Acos（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．
同步练习强化拓展系列答案
| A． | （-∞，-1）（2，+∞） | B． | （2，+∞） | C． | （-∞，-1） | D． | （-1，2） |