题目内容

(满分16分)已知函数,其中是自然对数的底数.
(1)证明:上的偶函数;
(2)若关于的不等式上恒成立,求实数的取值范围;
(3)已知正数满足:存在,使得成立,试比较的大小,并证明你的结论.
(1)证明见解析;(2);(3)当时,,当时,,当时,

试题分析:
试题解析:(1)证明:函数定义域为,∵,∴是偶函数.
(2)由,由于当时,,因此,即,所以,令,设,则,∵,∴时等号成立),即,所以
(3)由题意,不等式上有解,由,记,显然,当时,(因为),故函数上增函数,,于是上有解,等价于,即.考察函数,当时,,当时,,当,即上是增函数,在上是减函数,又,所以当时,,即,当时,,,即,因此当时,,当时,,当时,
【考点】(1)偶函数的判断;(2)不等式恒成立问题与函数的交汇;(3)导数与函数的单调性,比较大小.
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