题目内容
【题目】已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=a（Sn﹣an+1）（a为常数，且a＞0），且a3是6a1与a2的等差中项．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设bn=anlog2an ， 求数列{bn}的前n项和Tn ．
【答案】
（1）解：根据Sn=a（Sn﹣an+1），分别令n=1，2，3，可求得：
；
∴6a+a2=a3；
∵a＞0；
∴6+a=a2，解得a=3；
∴Sn=3（Sn﹣an+1）①；
∴n＞1时，Sn﹣1=3（Sn﹣1﹣an﹣1+1）②；
∴①﹣②得：an=3an﹣1；
∴ 
；
∴{an}是首项为3，公比为3的等比数列；
∴ 
（2）解： 
；
∴Tn=b1+b2+…+bn=log23（131+232+…+n3n） ①；
∴3Tn= 
②；
∴①﹣②得： 
= 
= 
；
∴ 
．
【解析】（1）根据已知条件即可求出a=3，所以根据n＞1时，an=Sn﹣Sn﹣1可得到an=3an﹣1 ， 所以数列{an}是首项为3，公比为3的等比数列，所以根据等比数列的通项公式可写出an；（2） 
，所以 
①，而要求131+232+…+n3n容易想到用错位相减法： 
②，①﹣②即可求得Tn ．
【考点精析】本题主要考查了数列的前n项和和数列的通项公式的相关知识点，需要掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系
；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式才能正确解答此题．
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