Question

【题目】如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,PA⊥平面ABCD,∠ABC=60°,E,F分别是BC,PC的中点.

(1)证明:AE⊥PD;

(2)若AB=2,PA=2,求二面角E-AF-C的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

(1)已知可得为正三角形,由为的中点,得，可得，再由平面 ,得，由线面垂直的判定得平面，从而可得结论；（2）由(1)知 两两垂直,以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系.利用向量垂直数量积为零列方程求出平面的法向量，结合为平面的一个法向量，利用空间向量夹角余弦公式可求出二面角的余弦值.

(1)证明:由四边形ABCD为菱形,∠ABC=60°,可得△ABC为正三角形.

因为E为BC的中点,所以AE⊥BC.又BC∥AD,所以AE⊥AD.

因为PA⊥平面ABCD,AE平面ABCD,所以PA⊥AE.

又PA平面PAD,AD平面PAD,PA∩AD=A,

所以AE⊥平面PAD,所以AE⊥PD.

(2)由(1)知AE,AD,AP两两垂直,以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系.由E,F分别为BC,PC的中点,易得A(0,0,0),B(,-1,0),D(0,2,0),E(,0,0),F,所以=(,0,0),=.设平面AEF的法向量为m=(x1,y1,z1),

则即

取z1=-1,则m=(0,2,-1).

连接BD.易知BD⊥AC,BD⊥PA,又PA∩AC=A,

所以BD⊥平面PAC,即BD⊥平面AFC,故为平面AFC的一个法向量,易得=(-,3,0),

所以cos<m,>===.

结合图形可知,所求二面角的余弦值为.