题目内容

【题目】设函数f(x)=xex﹣asinxcosx(a∈R,其中e是自然对数的底数).
(1)当a=0时,求f(x)的极值;
(2)若对于任意的x∈[0, ],f(x)≥0恒成立,求a的取值范围;
(3)是否存在实数a,使得函数f(x)在区间 上有两个零点?若存在,求出a的取值范围;若不存在,请说明理由.

【答案】
(1)解:当a=0时,f(x)=xex,f′(x)=ex(x+1),

令f′(x)=0,得x=﹣1,

列表如下:

x

(﹣∞,﹣1)

﹣1

(﹣1,+∞)

f′(x)

+

0

f(x)

极小值

所以函数f(x)的极小值为 ,无极大值


(2)解:①当a≤0时,由于对于任意 ,有sinxcosx≥0,

所以f(x)≥0恒成立,当a≤0时,符合题意;

②当0<a≤1时,因为f′(x)≥ex(x+1)﹣acos2x≥e0(0+1)﹣acos0=1﹣a≥0,

所以函数f(x)在 上为增函数,所以f(x)≥f(0)=0,即当0<a≤1,符合题意;

③当a>1时,f′(0)=1﹣a<0,

所以存在 ,使得f′(α)=0,且在(0,α)内,f′(x)<0,

所以f(x)在(0,α)上为减函数,所以f(x)<f(0)=0,

即当a>1时,不符合题意,

综上所述,a的取值范围是(﹣∞,1]


(3)解:不存在实数a,使得函数f(x)在区间 上有两个零点,

由(2)知,当a≤1时,f(x)在 上是增函数,且f(0)=0,

故函数f(x)在区间 上无零点,

当a>1时,f′(x)≥ex(x+1)﹣acos2x,

令g(x)=ex(x+1)﹣acos2x,g′(x)=ex(x+2)+2asin2x

时,恒有g′(x)>0,所以g(x)在 上是增函数,

故g(x)在 上存在唯一的零点x0,即方程f′(x)=0在 上存在唯一解x0

且当x∈(0,x0)时,f′(x)<0,当 ,f′(x)>0,

即函数f(x)在(0,x0)上单调递减,在 上单调递增,

当x∈(0,x0)时,f(x)<f(0)=0,即f(x)在(0,x0)无零点;

时,

所以f(x)在 上有唯一零点,

所以,当a>1时,f(x)在 上有一个零点,

综上所述,不存在实数a,使得函数f(x)在区间 上有两个零点


【解析】(1)将a=0代入f(x),求出函数的导数,列出表格,求出函数的极值即可;(2)通过讨论a的范围,求出函数的导数,确定函数的单调区间,从而确定a的范围即可;(3)求出当a≤1时,函数f(x)在区间 上无零点,a>1时,求出函数的导数,根据函数的单调性得到f(x)在 上有一个零点,从而判断结论即可.
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的极值与导数的相关知识,掌握求函数的极值的方法是:(1)如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值(2)如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值,以及对函数的最大(小)值与导数的理解,了解求函数上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数内的极值;(2)将函数的各极值与端点处的函数值比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值.

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