题目内容
【题目】如图所示,在四棱锥E-ABCD中,四边形ABCD是平行四边形,△BCE是等边三角形,△ABE是等腰直角三角形,∠BAE=90°,且AC=BC.
(1)证明:平面ABE⊥平面BCE;
(2)求二面角A-DE-C的余弦值.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
(1)证明:设O为BE的中点,连接AO,CO,证得AO⊥BE,CO⊥BE和AO⊥CO,利用面面垂直的判定定理,即可证明;
(2)由(1)可知AO,BE,CO两两垂直,以O为坐标原点,OE,OC,OA分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,分别求解平面ADE和平面DEC的一个法向量,利用向量的夹角公式,即可求解.
(1)证明:设O为BE的中点,连接AO,CO,易知AO⊥BE,CO⊥BE.设AC=BC=2,则AO=1,CO=,可得AO2+CO2=AC2,所以AO⊥CO.又AO∩BE=O,所以CO⊥平面ABE.
又CO平面BCE,故平面ABE⊥平面BCE.
(2)由(1)可知AO,BE,CO两两垂直,
设OE=1,以O为坐标原点,OE,OC,OA分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz,则A(0,0,1),E(1,0,0),C(0,,0),易得D(1,
,1),故
=(1,
,0),
=(1,0,-1),
=(-1,
,0),
=(1,0,1).设n=(x1,y1,z1)是平面ADE的法向量,则
即
令y1=1,可得n=(-
,1,-
).设m=(x2,y2,z2)是平面DEC的法向量,则
即
令y2=1,可得m=(
,1,-
),则cos<n,m>=
=.
易知二面角A-DE-C为锐角,所以二面角A-DE-C的余弦值为.
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