题目内容
【题目】如图①,正方形的边长为4,
,
,把四边形
沿
折起,使得
平面
,
是
的中点,如图②
(1)求证:平面
;
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)详见解析(2)
【解析】
首先结合已知底面
,所以有
,再结合菱形的性质即可得到
,那么(1)便不难求证了。对于(2)首先建立如图所示的空间直角坐标系,分析可知,
为平面
的一个法向量,再求出平面
的法向量,然后根据
进行求解即可。
解:(1)证明:连接,因为
,
底面
,
所以底面
,又
底面
,所以
,
因为,所以四边形
为菱形,所以
,
又,
平面
,
平面
,所以
平面
.
(2)由(1)知四边形为菱形,
,
,
设,所以
,
,
以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
则,
,
,
,
,
,
所以,
,
设平面的法向量为
,
则所以
令
,则
,
,
即平面的一个法向量为
,
易知平面的一个法向量为
,
设二面角的大小为
,由图易知
,
所以.
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