Question

【题目】已知函数（，其中e为自然对数的底数）．

（Ⅰ）若，求函数的单调递增区间；

（Ⅱ）若函数有两个不同的零点．

（ⅰ）当时，求实数的取值范围；

（ⅱ）设的导函数为，求证：．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（i）；（ii）证明见解析.

【解析】

（Ⅰ）先对函数求导，得到，根据，由，即可求出单调递增区间；

（Ⅱ）（ⅰ）先由（Ⅰ）得到，分和两种情况讨论，用导数的方法研究函数的单调性，进而可得出结果；

（ⅱ）先由题意得到，从而有，设，，构造函数，根据导数的方法研究函数的单调性，进而可证明结论成立.

（Ⅰ）由题意得，当时，令，得，函数的单调递增区间为；

（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知，，

当时，,函数在R上单调递增，不合题意，所以.

又时，；，，

函数有两个零点，函数在递减，函数在递增， ，

，得.

（ⅱ）由题意得：

，两式相减，得，

不妨设，，则

令，,,

在上单调递减，，即．