Question

8．若存在M，使任意x∈D（D为函数f（x）的定义域），都有|f（x）|≤M，则称函数f（x）有界，函数f（x）=$\frac{1}{x}$sin$\frac{1}{x}$在x∈（0，$\frac{1}{2}$）上是否有界？

Answer 1

分析 首先，结合三角函数的值域，对给定的函数取绝对值，然后，转化寻找|$\frac{1}{x}$|的取值范围，从而求解问题．

解答 解：∵|sin$\frac{1}{x}$|≤1，
∴|f（x）|=|$\frac{1}{x}$sin$\frac{1}{x}$|≤|$\frac{1}{x}$|．
∵x∈（0，$\frac{1}{2}$），
∴在此范围内，无法找到一个正数M，使得|$\frac{1}{x}$|≤M．
故该函数在给定区间内没有界．

点评 本题重点考查了三角函数的图象与性质、有界的概念等知识，属于中档题．