Question

11．已知集合A={x|x=m²-n²，m，n∈Z}，求证：
（1）任何奇数都是A的元素；
（2）偶数4k-2（k∈Z）不属于A．
（3）若α∈A，β∈A，则αβ∈A．
（4）将A中的正整数从小到大排成一列，则2012为此数列中的第几项？

Answer 1

分析 （1）欲证明一切奇数属于集合M，根据已知中集合M的定义，根据集合元素与集合关系的判断，我们推证奇数a∈M可得答案；
（2）用反证法，假设属于A，再根据两偶数的积为4的倍数；两奇数的积仍为奇数得出矛盾，从而证明要证的结论．
（3）若a，b∈S，则：存在整数m₁，n₁，m₂，n₂，满足a=m₁²+n₁²，b=m₂²+n₂²，进而将ab=（m₁²+n₁²）（m₂²+n₂²）化为（m₁•m₂-n₁•n₂）²+（m₁•n₂+n₁•m₂）² 的形式，可得结论．
（4）由（1）中结论，结合偶数4k（k∈Z）属于A，可得连续的四个整数中，有三个元素属于A，进而得到答案．

解答 证明：（1）设奇数为2n+1，n∈Z，
则恒有2n+1=（n+1）²-n²，
∴2n+1∈M，
即一切奇数都属于M；
（2）设4k-2∈A，则存在m，n∈Z，使4k-2=m²-n²=（m+n）（m-n）成立，
1、当m，n同奇或同偶时，m-n，m+n均为偶数，
∴（m-n）（m+n）为4的倍数，与4k-2不是4的倍数矛盾．
2、当m，n一奇，一偶时，m-n，m+n均为奇数，
∴（m-n）（m+n）为奇数，与4k-2是偶数矛盾．
综上4k-2∉A．
（3）若α，β∈S，则：存在整数m₁，n₁，m₂，n₂，满足
α=m₁²-n₁²，β=m₂²-n₂²，
则αβ=（m₁²-n₁²）（m₂²-n₂²）
=m₁²•m₂²+n₁²•n₂²-m₁²•n₂²-n₁²•m₂²
=（m₁•m₂）²+（n₁•n₂）²-2（m₁•m₂•n₁•n₂）²-（m₁•n₂）²-（n₁•m₂）²+2（m₁•m₂•n₁•n₂）²
=（m₁•m₂-n₁•n₂）²-（m₁•n₂+n₁•m₂）²，
因为（m₁•m₂-n₁•n₂），（m₁•n₂+n₁•m₂）为整数，
所以αβ∈S，
（4）由（1）可得任何奇数都是A的元素，
又由偶数4k（k∈Z）属于A，
故连续的四个整数中，有三个元素属于A，
∵2012=503×4，
故2012为此数列中的第1509项．

点评 本题考查的知识点是元素与集合关系的判断，正确理解集合A元素的特征是解答的关键，难度中档．