Question

16．已知数列{a_n}，a₁=1，且对n∈N^*，a_n+1=$\frac{n{a}_{n}+2（n+1）}{n+2}$
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=$\frac{1}{[n-（-1）^{n}]{a}_{n}}$，证明：b₁+b₂+…+b_n＜2．

Answer 1

分析 （1）通过计算出前几项的值猜想通项公式，利用数学归纳法证明即可；
（2）通过（1）可知b_n=$\frac{1}{2n+1}$•$\frac{3}{n-（-1）^{n}}$，利用放缩放缩法可知b_2n-1+b_2n＜$\frac{3}{4}$（$\frac{1}{n-2}$-$\frac{1}{n-1}$）（n≥3），进而并项相加即得结论．

解答 （1）解：依题意，a₂=$\frac{{a}_{1}+2（1+1）}{1+2}$=$\frac{1+4}{3}$=$\frac{5}{3}$，
a₃=$\frac{2{a}_{2}+2（2+1）}{2+2}$=$\frac{2•\frac{5}{3}+6}{4}$=$\frac{7}{3}$，
a₄=$\frac{3{a}_{3}+2（3+1）}{3+2}$=$\frac{3•\frac{7}{3}+8}{5}$=3=$\frac{9}{3}$，
猜想：a_n=$\frac{2n+1}{3}$．
下面用数学归纳法来证明：
①当n=1时，显然成立；
②假设当n=k（k≥2）时，有a_k=$\frac{2k+1}{3}$，
则a_k+1=$\frac{k{a}_{k}+2（k+1）}{k+2}$=$\frac{\frac{k（2k+1）}{3}+2（k+1）}{k+2}$=$\frac{（2k+3）（k+2）}{3（k+2）}$=$\frac{2（k+1）+1}{3}$，
即当n=k+1时，命题也成立；
由①、②可知，a_n=$\frac{2n+1}{3}$；
（2）证明：由（1）可知b_n=$\frac{1}{[n-（-1）^{n}]{a}_{n}}$=$\frac{1}{2n+1}$•$\frac{3}{n-（-1）^{n}}$，
∴b₁=$\frac{1}{2}$，b₂=$\frac{3}{5}$，b₃=$\frac{3}{28}$，${b}_{4}=\frac{1}{9}$，${b}_{5}=\frac{1}{22}$，${b}_{6}=\frac{3}{65}$，
∵b_2n-1+b_2n=$\frac{1}{4n-1}$•$\frac{3}{2n}$+$\frac{1}{4n+1}$•$\frac{3}{2n-1}$
＜6（$\frac{1}{4n-2}$•$\frac{1}{2n-2}$）
＜$\frac{3}{4}$（$\frac{1}{n-2}$-$\frac{1}{n-1}$）（n≥3），
∴b₁+b₂+…+b_2n-1+b_2n＜$\frac{1}{2}$+$\frac{3}{5}$+$\frac{3}{4}$（1-$\frac{1}{n-1}$）＜2，
∴b₁+b₂+…+b_n＜2．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查数学归纳法，考查放缩法，注意解题方法的积累，属于中档题．