Question

6．设有关于x的一元二次方程x²+2ax+b²=0．
（Ⅰ）若a是从1，2，3三个数中任取的一个数，b是从1，2两个数中任取的一个数，求上述方程在（-4，0）内有两个不等实根的概率．
（Ⅱ）若a是从区间[1，3]任取的一个数，b是从区间[1，2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）本题是一个古典概型，由分步计数原理知基本事件共6个，当a＞0，b＞0时，方程x²+2ax+b²=0有实根的充要条件为a≥b，满足条件的事件中包含1个基本事件，由古典概型公式得到结果．
（Ⅱ）本题是一个几何概型，试验的全部约束所构成的区域为{（a，b）|1≤a≤3，1≤b≤2}．构成事件A的区域为{（a，b）|1≤a≤3，1≤b≤2，a≥b}．根据几何概型公式得到结果．

解答 解：（Ⅰ）基本事件共3×2=6个：（1，1），（1，2），（2，1），（2，2），（3，1），（3，2）
当a＞0，b＞0时，方程x²+2ax+b²=0有实根的充要条件为a≥b，方程在（-4，0）内有两个不等实根的基本事件有（2，1）
∴所求概率为$\frac{1}{6}$；
（Ⅱ）设事件A为“方程a²+2ax+b²=0有实根”．
当a＞0，b＞0时，方程x²+2ax+b²=0有实根的充要条件为a≥b．
试验的全部约束所构成的区域为{（a，b）|1≤a≤3，1≤b≤2}．
构成事件A的区域为{（a，b）|1≤a≤3，1≤b≤2，a≥b}．
所以所求的概率为=$\frac{2×2-\frac{1}{2}×（1+2）×1}{2×2}$=$\frac{5}{8}$．

点评 本题考查几何概型和古典概型，放在一起的目的是把两种概型加以比较，几何概型和古典概型是高中必修中学习的高考时常以选择和填空出现，有时文科会考这种类型的解答题．