已知F1.F2是双曲线的两焦点.以线段F1F2为边作正三角形MF1F2.MF1的中点A在双曲线上.则双曲线的离心率是$\sqrt{3}$+1．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

8．已知F₁、F₂是双曲线的两焦点，以线段F₁F₂为边作正三角形MF₁F₂，MF₁的中点A在双曲线上，则双曲线的离心率是$\sqrt{3}$+1．

分析利用正三角形以及双曲线的定义，求得a，b和c的关系式化简整理求得关于e的方程求得e．

解答解：由条件知，|F₁F₂|=2c，|MF₁|=c，
∴|MF₂|=$\sqrt{3}$c，由双曲线定义知，|AF₂|-|AF₁|=2a，
∴$\sqrt{3}$c-c=2a，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{\sqrt{3}-1}$=$\sqrt{3}$+1．
故答案为：$\sqrt{3}$+1．

点评本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了学生对双曲线的基础知识的把握．

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19．在平面直角坐标系中，曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1-cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α位参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立的极坐标系中，曲线C₂的方程为ρ=2sinθ．
（1）求C₁和C₂的普通方程；
（2）求C₁和C₂公共弦的垂直平分线的极坐标方程．

16．已知数列{a_n}，a₁=1，且对n∈N^*，a_n+1=$\frac{n{a}_{n}+2（n+1）}{n+2}$
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=$\frac{1}{[n-（-1）^{n}]{a}_{n}}$，证明：b₁+b₂+…+b_n＜2．

3．已知函数f（x）=x²，g（x）=x-1，则g[f（x）]=x²-1．

13．已知△ABC是单位圆O的内接三角形，AD是圆的直径，若满足$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AD}={\overrightarrow{BC}^2}$，则$|\overrightarrow{BC}|$=2．

20．已知圆C：x²+y²-4x+2y=0与圆C₂：x²+y²-2y=0相交于A，B两点．
（1）求过A，B两点且圆心在直线2x+y=2上的圆C的方程；
（2）设P，Q是圆C上两点，且满足|OP|•|OQ|=1，求坐标原点到直线PQ的距离．

17．已知f（x）是偶函数，且x＞0时，f（x）=x²+ax，若f（-1）=2，则a=1；f（2）的值是6．

18．在△ABC中，若（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）•$\overrightarrow{BC}$=$\frac{3}{4}$${\overrightarrow{BC}}^{2}$，则$\frac{tanB}{tanC}$=7．

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