Question

【题目】已知函数 （m＞0）的最大值为2．
（1）求函数，f（x）在[0，π]上的单调递减区间；
（2）△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，C=60°，c=3，且 ，求△ABC的面积．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=msinx+ cosx= sin（x+θ）（其中sinθ= ，cosθ= ），

∴f（x）的最大值为 ，

∴ =2，

又m＞0，∴m= ，

∴f（x）=2sin（x+ ），

令2kπ+ ≤x+ ≤2kπ+ （k∈Z），解得：2kπ+ ≤x≤2kπ+ （k∈Z），

则f（x）在[0，π]上的单调递减区间为[ ，π]

（2）解：设△ABC的外接圆半径为R，由题意C=60°，c=3，得 = = = =2 ，

化简f（A﹣ ）+f（B﹣ ）=4 sinAsinB，得sinA+sinB=2 sinAsinB，

由正弦定理得： + =2 × ，即a+b= ab①，

由余弦定理得：a2+b2﹣ab=9，即（a+b）2﹣3ab﹣9=0②，

将①式代入②，得2（ab）2﹣3ab﹣9=0，

解得：ab=3或ab=﹣ （舍去），

则S△ABC= absinC=

【解析】：（1）将f（x）解析式利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由正弦函数的值域表示出f（x）的最大值，由已知最大值为2列出关于m的方程，求出方程的解得到m的值，进而确定出f（x）的解析式，由正弦函数的递减区间为[2kπ+ ，2kπ+ ]（k∈Z），列出关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到f（x）在[0，π]上的单调递减区间；（2）由（1）确定的f（x）解析式化简f（A﹣ ）+f（B﹣ ）=4 sinAsinB，再利用正弦定理化简，得出a+b= ab①，利用余弦定理得到（a+b）2﹣3ab﹣9=0②，将①代入②求出ab的值，再由sinC的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．
【考点精析】通过灵活运用两角和与差的余弦公式和两角和与差的正弦公式，掌握两角和与差的余弦公式：；两角和与差的正弦公式：即可以解答此题．