题目内容

2.已知O为的外心,若3$\overrightarrow{OA}$+4$\overrightarrow{OB}$-5$\overrightarrow{OC}$=0,则∠C=135°.

分析 将已知等式中的$\overrightarrow{OC}$移到等式的一边,将等式平方求出$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0,再根据3$\overrightarrow{OA}$+4$\overrightarrow{OB}$=5$\overrightarrow{OC}$得出A,B,C三点在圆心的同一侧,从而得出圆周角∠C的大小.

解答 解:∵3$\overrightarrow{OA}$+4$\overrightarrow{OB}$-5$\overrightarrow{OC}$=0,
∴3$\overrightarrow{OA}$+4$\overrightarrow{OB}$=5$\overrightarrow{OC}$,
∴9$\overrightarrow{OA}$2+16$\overrightarrow{OB}$2+24$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=25$\overrightarrow{OC}$2
∵A,B,C在圆上
设OA=OB=OC=1
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0
根据3$\overrightarrow{OA}$+4$\overrightarrow{OB}$=5$\overrightarrow{OC}$,得出A,B,C三点在圆心的同一侧,
∴∠C=135°
故答案为:135°.

点评 本题考查向量的运算法则,解答的关键是利用向量模的平方等于向量的平方;将未知向量用已知向量表示.

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