Question

【题目】如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E在DC边上，且DE＝1，将△ADE沿AE折到△AD′E的位置，使得平面AD′E⊥平面ABCE.

(1)求证：AE⊥BD′；

(2)求三棱锥A－BCD′的体积.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2) .

【解析】试题分析：（Ⅰ）连接BD交AE于点O，推导出Rt△ABD～Rt△DAE，从而得到OB⊥AE，OD'⊥AE，由此能证明AE⊥平面OBD'．（Ⅱ）由VA﹣BCD'=VD'﹣ABC，能求出三棱锥A﹣BCD'的体积．

解析：

(1)连接BD交AE于点O，依题意得 ，所以Rt△ABD∽Rt△DAE，

所以∠DAE＝∠ABD，所以∠AOD＝90°，所以AE⊥BD，

则OB⊥AE，OD′⊥AE，

又OB∩OD′＝O，OB，OD′在平面OBD′内，

所以AE⊥平面OBD′，

又BD′平面OBD′，所以AE⊥BD′.

(2)因为平面AD′E⊥平面ABCE，

由(1)知，OD′⊥平面ABCE，

所以OD′为三棱锥D′－ABC的高，

在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，DE＝1，所以D′O＝，

所以VA－BCD′＝VD′－ABC＝S△ABC·D′O＝.

故三棱锥A－BCD′的体积为.