题目内容
【题目】已知曲线y＝x＋ln x在点(1,1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝________
【答案】a＝8
【解析】∵y′＝1＋
，∴y′|x＝1＝2，∴y＝x＋lnx在点(1,1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，∴y＝2x－1.又切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，当a＝0时，y＝2x＋1与y＝2x－1平行，故a≠0，由
得ax2＋ax＋2＝0，∵Δ＝a2－8a＝0，∴a＝8.
一题多解： ∵y′＝1＋，∴y′|x＝1＝2，∴y＝x＋lnx在点(1,1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，∴y＝2x－1，又切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，当a＝0时，y＝2x＋1与y＝2x－1平行，故a≠0.∵y′＝2ax＋(a＋2)，∴令2ax＋a＋2＝2，得x＝－
，代入y＝2x－1，得y＝－2，∴点
在y＝ax2＋(a＋2)x＋1的图象上，故－2＝a×
2＋(a＋2)×＋1，∴a＝8.
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