题目内容
【题目】已知正方体棱长为
,如图,
为
上的动点,
平面
.下面说法正确的是( )
A.直线与平面
所成角的正弦值范围为
B.点与点
重合时,平面
截正方体所得的截面,其面积越大,周长就越大
C.点为
的中点时,若平面
经过点
,则平面
截正方体所得截面图形是等腰梯形
D.己知为
中点,当
的和最小时,
为
的中点
【答案】AC
【解析】
以点为坐标原点,
、
、
所在直线分别为
、
、
轴建立空间直角坐标系
,利用空间向量法可判断A选项的正误;证明出
平面
,分别取棱
、
、
、
、
、
的中点
、
、
、
、
、
,比较
和六边形
的周长和面积的大小,可判断B选项的正误;利用空间向量法找出平面
与棱
、
的交点
、
,判断四边形
的形状可判断C选项的正误;将矩形
与矩形
延展为一个平面,利用
、
、
三点共线得知
最短,利用平行线分线段成比例定理求得
,可判断D选项的正误.
对于A选项,以点为坐标原点,
、
、
所在直线分别为
、
、
轴建立空间直角坐标系
,则点
、
、设点
,
平面
,则
为平面
的一个法向量,且
,
,
,
所以,直线与平面
所成角的正弦值范围为
,A选项正确;
对于B选项,当与
重合时,连接
、
、
、
,
在正方体中,
平面
,
平面
,
,
四边形
是正方形,则
,
,
平面
,
平面
,
,同理可证
,
,
平面
,
易知是边长为
的等边三角形,其面积为
,周长为
.
设、
、
、
、
、
分别为棱
、
、
、
、
、
的中点,
易知六边形是边长为
的正六边形,且平面
平面
,
正六边形的周长为
,面积为
,
则的面积小于正六边形
的面积,它们的周长相等,B选项错误;
对于C选项,设平面交棱
于点
,点
,
,
平面
,
平面
,
,即
,得
,
,
所以,点为棱
的中点,同理可知,点
为棱
的中点,则
,
,
而,
,
且
,
由空间中两点间的距离公式可得,
,
,
所以,四边形为等腰梯形,C选项正确;
对于D选项,将矩形与矩形
延展为一个平面,如下图所示:
若最短,则
、
、
三点共线,
,
,
,所以,点
不是棱
的中点,D选项错误.
故选:AC.
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