Question

【题目】椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，过焦点且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）点为椭圆上一动点，连接、，设的角平分线交椭圆的长轴于点，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）先将代入，得到弦长为，根据题中条件，列出方程组，求解即可得到，进而可求出椭圆方程；

（Ⅱ）先设点，根据题意，得到直线的方程，再由的角平分线交椭圆的长轴于点，得到到直线的相等，进而得出，根据范围，即可求出结果.

（Ⅰ）将代入中，由可得，

所以弦长为，

故有，解得，所以椭圆的方程为：.

（Ⅱ）设点，又，则直线的方程分别为； .

由题意可知.

由于点为椭圆上除长轴外的任一点，所以，

所以，

因为，，

所以，即

因此， .