题目内容
【题目】函数,
.
(1)讨论函数的单调性;
(2)若在
上恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1)答案见解析;(2).
【解析】
(1)求出函数的定义域为
,求得
,分
、
、
三种情况讨论,分析导数的符号变化,由此可得出函数
的单调递增区间和递减区间;
(2)构造函数,由题意可知
恒成立,对实数
分
和
两种情况讨论,利用导数分析函数
在区间
上的单调性,验证
是否成立,由此可得出实数
的取值范围.
(1)函数的定义域为
,
.
(i)当时,
,函数
在
上单调递增;
(ii)当时,令
得
.
若,则
;若
,则
.
①当时,
,函数
在
上单调递增;
②当时,
,
当时,
,函数
单调递增;当
时,
,函数
单调递减;
综上,可得,当时,函数
在
上单调递增;
当时,函数
在
上单调递增,在
上单调递减;
(2)设,
,则
.
当时,
单调递增,则
.
所以,函数在
上单调递增,且
.
当时,
,
于是,函数在
上单调递增,
恒成立,符合题意;
当时,由于
,
,
,
所以,存在,使得
.
当时,
,函数
单调递减;当
时,
,函数
单调递增.
故,不符合题意,
综上所述,实数的取值范围是
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】2019年1月1日,我国开始施行《个人所得税专项附加扣除操作办法》,附加扣除的专项包括子女教育、继续教育、大病医疗、住房货款利息、住房租金、赡养老人.某单位有老年员工140人,中年员工180人,青年员工80人,现采用分层抽样的方法,从该单位员工中抽取20人,调查享受个人所得税专项附加扣除的情况,并按照员工类别进行各专项人数汇总,数据统计如下:
员工\人数\专项 | 子女教育 | 继续教育 | 大病医疗 | 住房贷款利息 | 住房租金 | 赡养老人 |
老员工 | 4 | 0 | 2 | 2 | 0 | 3 |
中年员工 | 8 | 2 | 1 | 5 | 1 | 8 |
青年员工 | 1 | 2 | 0 | 1 | 2 | 1 |
(Ⅰ)在抽取的20人中,老年员工、中年员工、青年员工各有多少人;
(Ⅱ)从上表享受住房货款利息专项扣除的员工中随机选取2人,求选取2人都是中年员工的概率.
【题目】已知椭圆的焦点在
轴上,中心在坐标原点,抛物线
的焦点在
轴上,顶点在坐标原点,在
、
上各取两个点,将其坐标记录于表格中:
(1)求、
的标准方程;
(2)已知定点,
为抛物线
上的一动点,过点
作抛物线
的切线交椭圆
于
、
两点,求
面积的最大值.