题目内容
【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为
、
,且两焦点的距离为
,椭圆
上一点与两焦点构成的三角形的周长为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点的直线交椭圆
于
、
两点,若
,求直线
的方程.
【答案】(1);(2)
或
.
【解析】
(1)设椭圆的标准方程为
,焦距为
,根据题意可得
、
,可计算出
的值,进而可得出椭圆
的标准方程;
(2)由题意可知,直线不能与
轴垂直,设直线
的方程为
,设点
、
,将直线
的方程与椭圆
的方程联立,列出韦达定理,由
,得出
,利用平面向量数量积的坐标运算结合韦达定理求出实数
的值,即可得出直线
的方程.
(1)设椭圆的标准方程为
,焦距为
,
由题意可得,解得
,
,
因此,椭圆的标准方程为
;
(2)由题意可知,直线不能与
轴垂直,
设直线的方程为
,设点
、
,
将直线的方程与椭圆
的标准方程联立
,
消去并整理得
,
由,解得
或
.
由韦达定理得,
,
,则
,且
,同理
,
,解得
,满足
.
综上所述,直线的方程为
或
.
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