Question

【题目】数列的前项和为，记，数列满足，，且数列的前项和为.

（1）① 计算，的值；

② 猜想,满足的关系式，并用数学归纳法加以证明；

（2）若数列通项公式为，证明：.

Answer 1

【答案】（1）①，；②，证明见解析；（2）见解析

【解析】

(1)①根据题中给的递推公式直接计算,即可.

②由①中可知,,故猜想,再根据数学归纳法的方法证明即可.

(2)根据可求得,再利用(1)中的结论放缩可得,再构造函数证明其单调性,再累加证明即可.

（1）①,,

所以,.

②

.

猜想：. (也可以写成)

1°当时,成立；

2°假设当时,成立,

当时,.

综上1°,2°所述,.

（2）因,所以其前项和.

所以由（1）知.

令,则,所以在上单调递减,

又,所以.令,所以,

即,

即,所以.

当时,,,……,,

上述个式子相加,得,

所以,则,即,故.