Question

19．等腰三角形ABC中，AB=AC，D是AC上一点，满足$\overrightarrow{BD}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}）$，且$|\overrightarrow{BD}|=\sqrt{2}$，则△ABC面积的最大值为$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 由已知可得C为AC中点，先在△ABD中利用余弦定理表示出cosA，进而求得sinA的表达式，进而代入三角形面积公式利用转化为二次函数来解决．

解答 解：∵等腰三角形ABC中，AB=AC，D是AC上一点，满足$\overrightarrow{BD}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}）$，
故D为等腰三角形ABC腰AC上的中点，
又由$|\overrightarrow{BD}|=\sqrt{2}$，
故cosA=$\frac{{b}^{2}+\frac{1}{4}{b}^{2}-2}{2•b•\frac{b}{2}}$=$\frac{5}{4}$-$\frac{2}{{b}^{2}}$，
△ABC面积S=$\frac{1}{2}$b²•$\sqrt{1-（\frac{5}{4}-\frac{2}{{b}^{2}}）^{2}}$=$\frac{1}{8}\sqrt{-9{（b}^{2}-\frac{40}{9}）^{2}+\frac{1024}{9}}$≤$\frac{4}{3}$，
故答案为：$\frac{4}{3}$．

点评 本题主要考查了余弦定理和正弦定理的运用．解题过程中充分利用好等腰三角形这个条件，把表达式的未知量减到最少．