Question

11．计算：$\underset{lim}{n→∞}$[$\frac{1}{1×6}$+$\frac{1}{6×11}$+$\frac{1}{11×16}$+…+$\frac{1}{（5n-4）（5n+1）}$]．

Answer 1

分析 裂项法可得到$\frac{1}{1×6}+\frac{1}{6×11}+\frac{1}{11×16}+$$…+\frac{1}{（5n-4）（5n+1）}$=$\frac{1}{5}$$[1-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}-\frac{1}{11}+\frac{1}{11}-\frac{1}{16}+…+\frac{1}{（5n-4）（5n+1）}]$，从而可看出前后项抵消后便可进行求极限了．

解答 解：$\frac{1}{1×6}+\frac{1}{6×11}+\frac{1}{11×16}$$+…+\frac{1}{（5n-4）（5n+1）}$=$\frac{1}{5}（1-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}-\frac{1}{11}+\frac{1}{11}-\frac{1}{16}+…+\frac{1}{5n-4}-\frac{1}{5n+1}）$=$\frac{1}{5}（1-\frac{1}{5n+1}）$=$\frac{1}{5}-\frac{1}{5（5n+1）}$；
∴$\underset{lim}{n→∞}[\frac{1}{1×6}+\frac{1}{6×11}+\frac{1}{11×16}+…+\frac{1}{（5n-4）（5n+1）}]$=$\underset{lim}{n→∞}[\frac{1}{5}-\frac{1}{5（5n+1）}]=\frac{1}{5}$．

点评 考查数列极限的定义，以及裂项法在数列求和中的应用．