题目内容
9.若对于任意的x>0,不等式$\frac{x}{{x}^{2}+2x+4}$≤a恒成立,则实数a的取值范围为[$\frac{1}{6}$,+∞).分析 由x>0,$\frac{x}{{x}^{2}+2x+4}$=$\frac{1}{x+\frac{4}{x}+2}$,运用基本不等式可得最大值,由恒成立思想可得a的范围.
解答 解:由x>0,$\frac{x}{{x}^{2}+2x+4}$=$\frac{1}{x+\frac{4}{x}+2}$
≤$\frac{1}{2\sqrt{x•\frac{4}{x}}+2}$=$\frac{1}{6}$,
当且仅当x=2时,取得最大值$\frac{1}{6}$.
所以要使不等式$\frac{x}{{x}^{2}+2x+4}$≤a恒成立,
则a≥$\frac{1}{6}$,
即实数a的取值范围为[$\frac{1}{6}$,+∞).
故答案为:[$\frac{1}{6}$,+∞).
点评 本题考查函数的恒成立问题的解法,注意运用基本不等式求得最值,考查运算能力,属于中档题.
练习册系列答案
相关题目
19.复数z=$\frac{2-i}{1+i}$(其中i是虚数单位),则z的共轭复数$\overline{z}$=( )
A. | $\frac{1}{2}$-$\frac{3}{2}$i | B. | -$\frac{1}{2}$-$\frac{3}{2}$i | C. | $\frac{1}{2}$+$\frac{3}{2}$i | D. | -$\frac{1}{2}$+$\frac{3}{2}$i |