Question

2．集合M={（x，y）|y²=2x}，N={（x，y）|（x-a）²+y²=1}，若M∩N≠∅，求a的范围．某同学解法如下：联立方程得（x-a）²+2x=1，△≥0，解之a≤1，该同学解法是否正确．

Answer 1

分析 根据y²=2x≥0，便知方程（x-a）²+2x=1有解，且至少有一个非负根，从而看出该同学的解法错误．至少有一个非负根的反面便是方程有两个负根，首先方程有解，便有△≥0，可得到a≤1，而方程有两个负根时可根据韦达定理得到$\left\{\begin{array}{l}{△≥0}\\{2（a-1）＜0}\\{{a}^{2}-1＞0}\end{array}\right.$，可得到a＜-1，这样将a≤1的范围中去掉a＜-1部分便得到要求的a的范围．

解答 解：该同学解法不正确，需再满足方程（x-a）²+2x=1至少有一个非负根；
方程可整理成：x²+2（1-a）x+a²-1=0；
根据该方程有解得：△=4（1-a）²-4（a²-1）≥0；
解得a≤1；
两根都为负根时，满足：
$\left\{\begin{array}{l}{△≥0}\\{2（a-1）＜0}\\{{a}^{2}-1＞0}\end{array}\right.$；
解得a＜-1；
∴方程至少有一个非负根时a满足-1≤a≤1；
∴a的范围为[-1，1]．

点评 考查描述法表示集合，空集、交集的概念，曲线的交点情况和对应方程形成方程组解的关系，一元二次方程有解时判别式△的取值情况，以及韦达定理，对于一元二次方程有解时两根的取值情况要清楚．