题目内容
9．某高中有甲、乙两个生物兴趣小组，分别独立开展对一种海洋生物离开恒温箱的成活情况进行研究，每次试验一个生物，甲组能使生物成活的概率为$\frac{3}{4}$，乙组能使生物成活的概率为$\frac{1}{3}$，假定试验后生物成活，则称该试验成功，如果生物不成活，则称该次试验是失败的．（1）甲小组做了三次试验，求至少两次试验成功的概率；
（2）若甲．乙两小组各进行2次试验，设试验成功的总次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．
分析 （1）设甲小组做了三次实验，至少两次试验成功为事件A，则P（A）=${∁}_{3}^{2}$$（\frac{3}{4}）^{2}$×（1-$\frac{3}{4}$）+${∁}_{3}^{3}$$（\frac{3}{4}）^{3}$，即可得出；
（2）由题意ξ的取值为0，1，2，3，4．利用相互独立与互斥事件的概率计算公式及其分布列、数学期望计算公式即可得出．
解答 解：（1）设甲小组做了三次实验，至少两次试验成功为事件A，则
P（A）=${∁}_{3}^{2}$$（\frac{3}{4}）^{2}$×（1-$\frac{3}{4}$）+${∁}_{3}^{3}$$（\frac{3}{4}）^{3}$=$\frac{27}{32}$，
（2）由题意ξ的取值为0，1，2，3，4．
P（ξ=0）=${∁}_{2}^{0}×（\frac{3}{4}）^{0}×（\frac{1}{4}）^{2}$×${∁}_{2}^{0}$×$（\frac{1}{3}）^{0}×（\frac{2}{3}）^{2}$=$\frac{4}{144}$，
P（ξ=1）=${∁}_{2}^{1}$×$\frac{3}{4}$×$\frac{1}{4}$×${∁}_{2}^{0}$×$（\frac{1}{3}）^{0}×（\frac{2}{3}）^{2}$+${∁}_{2}^{0}×（\frac{3}{4}）^{0}×（\frac{1}{4}）^{2}$×${∁}_{2}^{1}$×$\frac{1}{3}$×$\frac{2}{3}$=$\frac{28}{144}$，
P（ξ=2）=${∁}_{2}^{2}$×$（\frac{3}{4}）^{2}$×${∁}_{2}^{0}$×$（\frac{1}{3}）^{0}×（\frac{2}{3}）^{2}$+${∁}_{2}^{0}×（\frac{3}{4}）^{0}×（\frac{1}{4}）^{2}$×${∁}_{2}^{2}$×$（\frac{1}{3}）^{2}$+${∁}_{2}^{1}×\frac{3}{4}×\frac{1}{4}$×${∁}_{2}^{1}×\frac{1}{3}×\frac{2}{3}$=$\frac{61}{144}$，
P（ξ=3）=${∁}_{2}^{2}$×$（\frac{3}{4}）^{2}$×${∁}_{2}^{1}$×$\frac{1}{3}$×$\frac{2}{3}$+${∁}_{2}^{1}$×$\frac{3}{4}$×$\frac{1}{4}$×${∁}_{2}^{2}×（\frac{1}{3}）^{2}$=$\frac{42}{144}$，
P（ξ=4）=${∁}_{2}^{2}$×$（\frac{3}{4}）^{2}$×${∁}_{2}^{2}×（\frac{1}{3}）^{2}$=$\frac{9}{144}$．
故ξ的分布列为：
| ξ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| P | $\frac{4}{144}$ | $\frac{28}{144}$ | $\frac{61}{144}$ | $\frac{42}{144}$ | $\frac{9}{144}$ |
点评 本题考查了相互独立与互斥事件的概率计算公式、随机变量的数学期望计算公式，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于中档题．
阅读快车系列答案| A． | 周期为π的奇函数 | B． | 周期为π的偶函数 | ||
| C． | 周期为2π的奇函数 | D． | 周期为2π的偶函数 |
| 甲组 | 91 | 86 | 82 | 75 | 93 | 90 | 68 | 82 | 76 | 94 | 92 | 64 |
| 乙组 | 77 | 84 | 95 | 81 | 98 | 69 | 72 | 88 | 93 | 65 | 70 | 85 |
（Ⅰ）在以上24人中，如果按等级用分层抽样的方法从中抽取6人，再从这6人中随机选出2人，求选出的2人中至少有一人等级为“优秀”的概率；
（Ⅱ）若从所有等级为“优秀”的人当中选出3人，用X表示其中乙组的人数，求随机变量X的分布列和的数学期望．