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14．在一次数学测试中，甲、乙两个小组各12人的成绩如下表：（单位：分）
甲组918682759390688276949264
乙组778495819869728893657085
若成绩在90分以上（包括90分）的等级记为“优秀”，其余的等级都记为“合格”．
（Ⅰ）在以上24人中，如果按等级用分层抽样的方法从中抽取6人，再从这6人中随机选出2人，求选出的2人中至少有一人等级为“优秀”的概率；
（Ⅱ）若从所有等级为“优秀”的人当中选出3人，用X表示其中乙组的人数，求随机变量X的分布列和的数学期望．

分析 （I）设“选出的2人中至少有一人等级为“优秀””为事件A．由于24人中成绩≥90的共有8人，按等级用分层抽样的方法从中抽取6人，则其中优秀的有2人，其余的4人为合格．先求出取出的2人都是“合格”的概率，再利用对立事件的概率计算公式即可得出；
（II）由已知可得：等级为“优秀”的人共有8人，其中甲组有5人，乙组有3人．因此X的可能取值为0，1，2，3．再利用“超几何分布”计算公式、分布列及其数学期望计算公式即可得出．

解答 解：（I）设“选出的2人中至少有一人等级为“优秀””为事件A．
由于24人中成绩≥90的共有8人，按等级用分层抽样的方法从中抽取6人，则其中优秀的有2人，其余的4人为合格．
再从这6人中随机选出2人，则P（A）=$1-\frac{{∁}_{4}^{2}}{{∁}_{6}^{2}}$=$\frac{3}{5}$．
（II）由已知可得：等级为“优秀”的人共有8人，其中甲组有5人，乙组有3人．
因此X的可能取值为0，1，2，3．
P（X=0）=$\frac{{∁}_{5}^{3}}{{∁}_{8}^{3}}$=$\frac{5}{28}$，P（X=1）=$\frac{{∁}_{3}^{1}{∁}_{5}^{2}}{{∁}_{8}^{3}}$=$\frac{30}{56}$，P（X=2）=$\frac{{∁}_{3}^{2}{∁}_{5}^{1}}{{∁}_{8}^{3}}$=$\frac{15}{56}$，P（X=3）=$\frac{{∁}_{3}^{3}}{{∁}_{8}^{3}}$=$\frac{1}{56}$．
随机变量X的分布列为：

X0123
P（X）$\frac{5}{28}$$\frac{30}{56}$$\frac{15}{56}$ $\frac{1}{56}$
E（X）=0×$\frac{5}{28}$+1×$\frac{30}{56}$+2×$\frac{15}{56}$+3×$\frac{1}{56}$=$\frac{9}{8}$．

点评 本题考查了古典概率计算公式、相互对立事件的概率计算公式、“超几何分布”的分布列及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

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