Question

1．盒子中装有“黑桃、红桃、梅花、方块”4种不同花色的扑克牌各3张，从中一次任取3张牌，每张牌被取出的可能性都相等．
（Ⅰ）求取出的3张牌中的花色互不相同的概率；
（Ⅱ）用X表示取出的3张牌中花色是“黑桃”的张数，求随机变量X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （I）设“取出的3张牌中的花色互不相同”为事件A．从12张扑克牌任取3张共有${∁}_{12}^{3}$种方法，从4种不同花色中任取3种花色并且每一种花色个取一张可有${∁}_{4}^{3}×{3}^{3}$种方法，录用古典概率计算公式即可得出；
（II）由题意可得：X=0，1，2，3．P（X=0）=$\frac{{∁}_{9}^{3}}{{∁}_{12}^{3}}$，P（X=1）=$\frac{{∁}_{3}^{1}×{∁}_{9}^{2}}{{∁}_{12}^{3}}$，P（X=2）=$\frac{{∁}_{3}^{2}×{∁}_{9}^{1}}{{∁}_{12}^{3}}$，P（X=3）=$\frac{{∁}_{3}^{3}}{{∁}_{12}^{3}}$，得出分布列，再利用数学期望计算公式即可得出．

解答 解：（I）设“取出的3张牌中的花色互不相同”为事件A．
从12张扑克牌任取3张共有${∁}_{12}^{3}$种方法，从4种不同花色中任取3种花色并且每一种花色个取一张可有${∁}_{4}^{3}×{3}^{3}$种方法，
∴P（A）=$\frac{{∁}_{4}^{3}×{3}^{3}}{{∁}_{12}^{3}}$=$\frac{27}{55}$．
（II）由题意可得：X=0，1，2，3．
P（X=0）=$\frac{{∁}_{9}^{3}}{{∁}_{12}^{3}}$=$\frac{21}{55}$，P（X=1）=$\frac{{∁}_{3}^{1}×{∁}_{9}^{2}}{{∁}_{12}^{3}}$=$\frac{27}{55}$，P（X=2）=$\frac{{∁}_{3}^{2}×{∁}_{9}^{1}}{{∁}_{12}^{3}}$=$\frac{27}{220}$，P（X=3）=$\frac{{∁}_{3}^{3}}{{∁}_{12}^{3}}$=$\frac{1}{220}$．
随机变量X的分布列为：

X	0	1	2	3
P（X）	$\frac{21}{55}$	$\frac{27}{55}$	$\frac{27}{220}$	$\frac{1}{220}$

数学期望E（X）=$0×\frac{21}{55}$+1×$\frac{27}{55}$+2×$\frac{27}{220}$+3×$\frac{1}{220}$=$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查了古典概率计算公式、随机变量的分布列及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．