题目内容
【题目】已知椭圆
方程为
，双曲线
的两条渐近线分别为
， 
，过椭圆
的右焦点作直线
，使
，又
与
交于点
，设直线
与椭圆
的两个交点由上至下依次为
， 
．
（1）若
与
所成的锐角为
，且双曲线的焦距为4，求椭圆
的方程；
（2）求
的最大值．
【答案】（1）
（2）最大值
．
【解析】试题分析：（1）首先由题意并结合双曲线的性质可得出， 
所满足的关系式，再与
联立求出两者的值即可得出所求的椭圆的方程；（2）首先联立直线
与
的方程求出它们的交点
的坐标，再令
，利用引入的参数表示出点
的坐标，由于点
在椭圆上，代入椭圆的方程结合椭圆的性质求出
的取值范围，即可得出所求的最大值．
试题解析： （1）双曲线的渐近线为
，两渐近线夹角为60°，又
，所以
，
所以
，所以
．又
，所以
， 
，所以椭圆
的方程为
，所以离心率
．
（2）由已知， 
与
联立，解方程组得
．设
，则
，因为
，设
，则
，所以
，即
，将将A点坐标代入椭圆方程，得
，
等式两边同除以
， 
，所以
，当
，即
时， 
有最大值
，即
的最大值为
．
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