Question

9．等差数列{a_n}中，a₃=2，a₁₁=2a₅
（I）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=$\frac{1}{n{a}_{n}}$，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，由等差数列的通项公式，得到首项和公差的方程组，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项；
（Ⅱ）求得b_n=$\frac{1}{n{a}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），再由裂项相消求和，即可得到所求．

解答 解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，
由题意可得a₁+2d=2，a₁+10d=2（a₁+4d），
解得，a₁=1，d=$\frac{1}{2}$，
所以{a_n}的通项公式为a_n=$\frac{1}{2}$（n+1）；
（Ⅱ）b_n=$\frac{1}{n{a}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
前n项和S_n=2（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）
=2（1-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{2n}{n+1}$．

点评 本题考查等差数列的通项公式的运用，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题．