Question

20．已知二次函数的顶点的纵坐标为1，且f（0）=f（2）=3．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（x）在区间上[2a，a+1]上不单调，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设f（x）=a（x-h）²+1，由于f（0）=f（2）=3，可得$\left\{\begin{array}{l}{a{h}^{2}+1=3}\\{a（2-h）^{2}+1=3}\end{array}\right.$，解得a，h即可得出．
（2）由（1）可知：函数f（x）的对称轴为x=1，由于f（x）在区间上[2a，a+1]上不单调，可得2a＜1＜a+1，解出即可得出．

解答 解：（1）设f（x）=a（x-h）²+1，∵f（0）=f（2）=3，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a{h}^{2}+1=3}\\{a（2-h）^{2}+1=3}\end{array}\right.$，解得a=2，h=1．
∴f（x）=2（x-1）²+1=2x²-4x+3．
（2）由（1）可知：函数f（x）的对称轴为x=1，
∵f（x）在区间上[2a，a+1]上不单调，
∴2a＜1＜a+1，
解得$0＜a＜\frac{1}{2}$．
∴a的取值范围是$（0，\frac{1}{2}）$．

点评 本题考查了二次函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．