Question

4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，bcosC=a-$\frac{1}{2}$c．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若b=1，求a+c的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用余弦定理化简整理，再由特殊角的三角函数值，即可得到所求角B；
（Ⅱ）运用余弦定理：b²=a²+c²-2accosB，结合基本不等式即可得到a+c的最大值．

解答 解：（Ⅰ）∵$bcosC=a-\frac{1}{2}c∴b\frac{{{a^2}+{b^2}-{c^2}}}{2ab}=a-\frac{1}{2}c$，
∴b²-c²=a²-ac
∴b²=a²+c²-ac，
∴$cosB=\frac{1}{2}$，
又∵$B∈（0，π）∴B=\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）∵b²=a²+c²-2accosB，
∴1=a²+c²-ac=（a+c）²-3ac，
∵$ac≤\frac{{{{（a+c）}^2}}}{4}$当且仅当a=c时等号成立，
∴$\frac{1}{4}{（a+c）^2}≤1$，即a+c≤2．
即有a+c的最大值为2．

点评 本题考查余弦定理的运用，考查运用基本不等式求最值的方法，以及运算化简能力，属于中档题．