题目内容
【题目】已知函数是奇函数.
(1)求实数的值;
(2)设函数,是否存在非零实数
,使得方程
恰好有两个解?若存在,求出
的取值范围;若不存在,说明理由.
【答案】(1)1;(2)存在,.
【解析】
(1)由奇函数性质得,由此能求出
.
(2)先假设存在,然后将方程恰好有两个解的问题转化为当
时,方程
在
有两个不等的实根;当
时,方程
在
有两个不等的实根,利用根的分布问题来来解答.
(1)因是奇函数,故
恒成立,
即.
所以.
当时,
定义域关于原点不对称,不满足要求,舍去;
当时,
,定义域为
满足要求.
综上知.
(2)假设存在非零实数使得方程
恰好有两个解.
而且
,
①当时,问题转化为方程
在
有两个不等的实根,
令,
则有,此不等式组无解;
②当时,问题转化为方程
在
有两个不等的实根,
则有,解得
,
综上知,存在,使得方程
恰好有两个解.
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