题目内容
【题目】已知函数,
(1)若函数在
处的切线与直线
垂直,求
的值;
(2)讨论在R上的单调性;
(3)对任意,总有
成立,求正整数
的最大值。
【答案】(1)1;(2)见解析;(3)2
【解析】
(1)根据导数的几何意义求出切线的斜率,再结合条件可得;(2)由题意得到
,然后根据
的符号可得到函数的单调性;(3)将问题转化为不等式
对
恒成立求解,然后根据
得到
对
恒成立,令
,根据导数求出函数
最小值所在的范围后可得正整数
的最大值.
(1)∵,
∴,
∴.
∵函数在
处的切线与直线
垂直,
∴,
解得.
(2)∵,
∴.
①当时,
恒成立,
∴函数在R上单调递增.
②当时,由
,得
,
且当时,
单调递减;
当时,
单调递增.
综上可得,当时,函数
在R上单调递增;
当时,
在
单调递减,在
上单调递增.
(3)由得
,
整理得,
由题意得“对任意,总有
成立”等价于“不等式
对任意
恒成立”,
∴,
整理得,
∵,且当
时,
,
∴.
令,
则,且在
上单调递增,
∵,
∴存在,使得
,
且当时,
单调递减;当
时,
单调递增.
∴,
又,
∴,
,
∴,
∴,
又为正整数,
∴,
∴正整数的最大值为2.
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