Question

【题目】某工程设备租赁公司为了调查A，B两种挖掘机的出租情况，现随机抽取了这两种挖掘机各100台，分别统计了每台挖掘机在一个星期内的出租天数，统计数据如下表： A型车挖掘机

出租天数	1	2	3	4	5	6	7
车辆数	5	10	30	35	15	3	2

B型车挖掘机

出租天数	1	2	3	4	5	6	7
车辆数	14	20	20	16	15	10	5

（Ⅰ）根据这个星期的统计数据，将频率视为概率，求该公司一台A型挖掘机，一台B型挖掘机一周内合计出租天数恰好为4天的概率；
（Ⅱ）如果A，B两种挖掘机每台每天出租获得的利润相同，该公司需要从A，B两种挖掘机中购买一台，请你根据所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种类型，并说明你的理由．

Answer 1

【答案】解：（I）设“事件Ai表示一台A型挖掘机在一周内出租天数恰好为i天”，

“事件Bj表示一台B型挖掘机在一周内出租天数恰好为j天”，其i，j=1，2，…，7．则该公司一台A型挖掘机，一台B型挖掘机一周内合计出租天数恰好为4天的概率为P（A1B3+A2B2+A3B1）=P（A1B3）+P（A2B2）+P（A3B1）=P（A1）P（B3）+P（A2）P（B2）+P（A3）P（B1）= + + = ．

所以该公司一台A型车，一台B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率为 ．

（Ⅱ）设X为A型挖掘机出租的天数，则X的分布列为

X	1	2	3	4	5	6	7
P	0.05	0.10	0.30	0.35	0.15	0.03	0.02

设Y为B型挖掘机出租的天数，则Y的分布列为

Y	1	2	3	4	5	6	7
P	0.14	0.20	0.20	0.16	0.15	0.10	0.05

EX=1×0.05+2×0.10+3×0.30+4×0.35+5×0.15+6×0.03+7×0.02=3.62．

EY=1×0.14+2×0.20+3×0.20+4×0.16+5×0.15+6×0.10+7×0.05=3.48．

一台A类型的挖掘机一个星期出租天数的平均值为3.62天，一台辆B类型的挖掘机一个星期出租天数的平均值为3.48天，选择A类型的挖掘机更加合理

【解析】（I）设“事件Ai表示一台A型挖掘机在一周内出租天数恰好为i天”，“事件Bj表示一台B型挖掘机在一周内出租天数恰好为j天”，其i，j=1，2，…，7．则该公司一台A型挖掘机，一台B型挖掘机一周内合计出租天数恰好为4天的概率为P（A1B3+A2B2+A3B1）=P（A1B3）+P（A2B2）+P（A3B1）=P（A1）P（B3）+P（A2）P（B2）+P（A3）P（B1），代入概率计算即可得出．（II）利用频率可得概率，分别得出X，Y的分布列，即可得出数学期望．
【考点精析】解答此题的关键在于理解离散型随机变量及其分布列的相关知识，掌握在射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一个值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列．