题目内容

14.已知函数f(x)=(sinωx+$\sqrt{3}$cosωx)2-1(其中ω>0),且函数f(x)的最小正周期为π.
(1)求ω的值;
(2)求函数f(x)在区间[-$\frac{π}{4}$,$\frac{π}{3}$]上的最大值和最小值.

分析 (1)由三角函数恒等变换化简函数解析式可得f(x)=2sin(2$ωx+\frac{π}{6}$)+1,由三角函数的周期性及其求法即可得解.
(2)由(1)知f(x)=2sin(2x+$\frac{π}{6}$)+1,当x∈[-$\frac{π}{4}$,$\frac{π}{3}$]时,可求2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{3}$,$\frac{5π}{6}$],由正弦函数的性质即可得解.

解答 解:(1)因为f(x)=(sinωx+$\sqrt{3}$cosωx)2-1
=(sin2ωx+3cos2ωx+2$\sqrt{3}$sinωxcosωx)-1
=2cos2ωx+$\sqrt{3}$sin2ωx   (2分)
=cos2ωx+$\sqrt{3}sin2ωx+1$ (4分)
=2sin(2$ωx+\frac{π}{6}$)+1,(6分)
因为函数f(x)的最小正周期为π,所以2ω=$\frac{2π}{T}=\frac{2π}{π}=2$,
所以ω=1;(8分)
(2)由(1)知,函数f(x)=2sin(2x+$\frac{π}{6}$)+1,
当x∈[-$\frac{π}{4}$,$\frac{π}{3}$]时,2x∈[-$\frac{π}{2}$,$\frac{2π}{3}$],2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{3}$,$\frac{5π}{6}$],
所以当x=-$\frac{π}{4}$时,函数取得最小值f(-$\frac{π}{4}$)=-$\sqrt{3}+1$,(11分)
当x=$\frac{π}{6}$时,函数取得最大值f($\frac{π}{6}$)=3.(13分)

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用,考查了三角函数的周期性及其求法,正弦函数的图象和性质,属于基本知识的考查.

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