题目内容

5.数列{an}满足${a_n}=\frac{2}{{n({n+1})}}$,若前n项和${S_n}>\frac{5}{3}$,则n的最小值是(  )
A.4B.5C.6D.7

分析 通过分离分母可得an=2($\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$),并项累加可得Sn=2-$\frac{2}{n+1}$,进而计算可得结论.

解答 解:∵${a_n}=\frac{2}{{n({n+1})}}$=2($\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$),
∴Sn=2(1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$)=2-$\frac{2}{n+1}$,
又∵${S_n}>\frac{5}{3}$,即2-$\frac{2}{n+1}$>$\frac{5}{3}$,
∴n>5,
∴n的最小值是6,
故选:C.

点评 本题考查数列的简单性质,注意解题方法的积累,属于中档题.

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